شرایط مرزی و اولیهی گسستهشده نیز بدین شرح است:

(۱۹.۳)

(۲۰.۳)

(۲۱.۳)

در ضمن شرط اولیهی  در  وارد نمیشود، چون این شرط به صورت خودکار با در نظر گرفتن f=0 ارضا میشود.
گسسته سازی معادلات دیفرانسیل پارهای مرزی (۱۵.۳) و(۱۶.۳) برای حل معادلات پارهای (۱۲.۳) و(۱۳.۳) بدین شرح است:
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(۱۷.۳)

(۱۸.۳)

۳.۱.۳- نتایج:
پیش از بررسی نتایج، در ابتدا استقلال شبکهی محاسباتی در راستاهای y، xو  برای الگوریتم ترکیبی DQ-IDQ بررسی می‏شود و نتایج آن با روش نوشته شده در حالت دایم مقایسه میگردد. نتایج بررسی استقلال از شبکه در این راستاها به ترتیب در جداول ۱.۳ تا ۳.۳ آورده شده است. شایان ذکراست که در اعمال روش مربعات دیفرانسیل تکه‏ای طول تمامی زیر بازه‏ها بر روی  یکسان و برابر ۵/۰ واحد در نظر گرفته شده است. نتایج بررسی شده در جداول ۱.۳ تا ۳.۳ ، مربوط به آخرین گام زمانی یا به تعبیر دیگر بخش دایم جریان جابجایی آزاد گذرا است که نحوه مشخص شدن این گام و علت انتخاب آن بدین قرار است:
نحوه مشخص کردن آخرین گام زمانی مساله بدین صورت است که اگر اختلاف بین نتایج تمامی متغیرها در دو گام زمانی متوالی کمتر از ۶-e1 باشد، آنگاه آخرین گام زمانی مساله مشخص می‏شود. علت انتخاب بخش دایم جریان جابجایی آزاد گذرا این است که این بخش در حقیقت آخرین پله‏ی زمانی مساله‏ی گذرا می‏باشد و چون مساله‏ی مذکور در حقیقت مساله‏ی مقدار اولیه بر روی زمان است پس حداکثر انباشتگی خطای برشی در آخرین پله‏ی زمانی (بخش دایم) رخ می‏دهد.
در جدول ۱.۳ استقلال روش از تعداد گره های مورد نیاز در راستای y بررسی شده است. نتایج مطالعه شده در جدول مذکور در  بررسی شده است. علت بررسی نتایج این جدول در این زاویه، استقلال معادلات حاکمه از x در این زاویه میباشد. این امر موجب می‏شود تا اثرات نامطلوبی که ممکن است انتخاب ناآگاهانه‏ی فاصله‏ی گره‏ها در راستای x بر نتایج استقلال شبکه‏ی مساله در راستای y بگذارد، حذف ‏گردد. همچنین تعداد گره‏های محاسباتی در هر زیر بازه‏ی زمانی ۵ انتخاب شده است. همانطور که از جدول ۱.۳ واضح است با انتخاب ۲۴ گره در راستای مذکور، مساله تا ۴ رقم بعد از اعشار به جواب‏های مطلوبی همگرا می‏گردد. همان‏گونه که در جدول ۲.۳ نشان داده شده است با انتخاب ۵ گره‏ی محاسباتی در طول بازه‏ی ۰ تا  شبکه در راستای x به استقلال می‏رسد. برای بدست آوردن نتایج این جدول تعداد گره‏های محاسباتی در هر زیر بازه‏ی زمانی ۵ و تعداد گره‏های محاسباتی در راستای y ، ۲۴ انتخاب شده است. جدول ۳.۳ نشان می‏دهد که اگر تعداد ۴ گره‏ی محاسباتی را در هر زیر بازه‏ی زمانی ۵/۰ واحدی انتخاب شود شبکه‏ی مستقل از تعداد گره‏ها در این راستا است. همچنین با توجه به نتایج جداول ۱.۳ و ۲.۳، تعداد گره‏ها در دو راستای y و x به ترتیب ۲۴ و ۵ انتخاب شده است. بنابراین با توجه به نتایج گرفته شده از جداول ۱-۳، شبکه‏ی محاسباتی ۲۴  ۵  ۴ در نظر گرفته شده است.
اکنون ممکن است این سوال پیش بیاید که روش مربعات دیفرانسیل تکهای چه مزیتی بر روش مربعات دیفرانسیل داردکه تصمیم به استفاده از ترکیب روش مربعات دیفرانسیل با مربعات دیفرانسیل تکهای در حل مسایل جابجایی آزاد گذرا گرفته شده است؟به عبارت دیگر آیا لازم است که در دامنه‏ی زمانی از روش مربعات دیفرانسیل تکه‏ای استفاده گردد؟ برای این منظور یکبار بر روی دامنهی زمانی از روش مربعات دیفرانسیل استفاده میشود و مرتبهی بعد از روش مربعات دیفرانسیل تکهای استفاده شده است. نتایج این بررسی در جدول ۴.۳ آورده شده است. همانگونه که از جدول ۴.۳ برمی‏آید مدت زمان اجرای برنامه با بهره گرفتن از روش مربعات دیفرانسیل تکه‏ای بر روی یک زمان بی‏بعد شده (  ) برابر، تقریبا ۱/۰ مد زمان اجرای برنامه با بهره گرفتن از روش مربعات دیفرانسیل می‏باشد و همچنین دقت آن در محاسبه‏ی جواب‏ها به‏مراتب بهتر از مربعات دیفرانسیل است. علت این امر این است که چون در زمان های اولیه گرادیان دما و سرعت شدید میباشد، بهتر است که کل بازهی زمانی مورد بررسی را تکه تکه کرده و در هر تکه کمیت های مورد نظر محاسبهی شوند. مزیت این کار این است که تغییرات شدید اولیه بهتر توسط روش احساس می شود و روش جوابهایی به مراتب بهتر و دقیقتر تولید میکند. بنابراین استفاده از ترکیب روش مربعات دیفرانسیل با مربعات دیفرانسیل تکه‏ای برای حل چنین مسایلی ترجیح داده می‏شود.
شکل ۲.۳.الف و ۲.۳.ب به ترتیب روند تغییرات پروفیل سرعت و دما را با زمان نشان می دهد. اما چرا در رسم این دو شکل از همان متغیر y بیبعدی که در معادلهی (۵.۳) تعریف شده، استفاده نشده است؟ علت این امر این است که y تعریف شده در معادلهی (۵.۳) خود متغیری بر حسب زمان است و نمیتوان پروفیل آنها را در زمان های مختلف با هم مقایسه کرد. بنابراین میبایست یک متغیر مرجع انتخاب شود تا تمام پروفیلها در زمان های مختلف برحسب آن رسم گردد. متغیر مرجع را y تعریف شده در معادلهی (۵۲.۲) (حالت دایم) در نظر گرفته شده است. به منظور تبدیل متغیر y بیبعد حالت گذرا به y بیبعد حالت دایم از رابطه زیر استفاده میشود:

همانطورکه از شکلهای۲.۳.الف و ۲.۳.ب بترتیب برمیآید ضخامت لایه مرزی هیدرودینامیکی و حرارتی با گذشت زمان افزایش مییابد تا اینکه در حالت دایم به حداکثر مقدار خود میرسد. این اشکال در  رسم شده است. در شکلهای۳.۳.الف و ۳.۳.ب، افزایش پرانتل منجر به کاهش سرعت و نازک شدن لایهی مرزی حرارتی میشودکه درست همان نتایجی است که در جریانهای جابجایی آزاد عمودی انتظار میرود. این مساله را میتوان این گونه توجیه کرد که پرانتل نسبت ضخامت لایهی مرزی هیدرودینامیکی به حرارتی است و با افزایش پرانتل ضخامت لایهی مرزی حرارتی کاهش مییابد و با کاهش ضخامت لایهی مرزی حرارتی در حقیقت نیروی بویانسی که تقویت کنندهی اثر جابجایی آزاد در لایه مرزی است، کاهش مییابد در نتیجه سرعت جریان کم میشود. در شکل ۴.۳.الف با افزایش پرانتل، ضریب برش دیواره کاهش مییابد. درشکل ۴.۳.ب با افزایش پرانتل، نرخ انتقال حرارت سطح افزایش مییابد. همانطور که از شکل ۳.۳.ب نتیجه گرفته شد ضخامت لایهی مرزی حرارتی با افزایش پرانتل کاهش مییابد، از طرفی لایهی سیال مجاور با سطح کره میبایست با دمای کره همدما باشد و با لایهی مجاور خود انتقال انرژی کند. این انتقال انرژی بواسطهی گرادیان دمایی که بین این لایه ها ایجاد شده است، حاصل میگردد. چون ضخامت لایهی مرزی با افزایش پرانتل کاهش یافته است پس در حقیقت گرادیان دمایی بین ذرات افزایش یافته است که این امر منجر به افزایش نرخ انتقال حرارت بر روی سطح کره میگردد. از طرف دیگر همانطور که در شکل۴.۳.الف و ۴.۳.ب نشان داده شده است، افزایش پرانتل مدت زمان رسیدن جریان به حالت دایم را به تاخیر میاندازد. با توجه به جدول ۵.۳ افزایش پرانتل میزان پایین زنی و بالازنی در نرخ انتقال حرارت و ضریب برش دیواره را کاهش می دهد.
۲.۳- بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت در حضور میدان مغناطیسی
جریانهای مگنتوهیدرودینامیک در مسایلی مثل سرمایش ژنراتورها، طراحی مبدلهای حرارتی، سرمایش راکتورهای هستهی با سدیم مایع، جریان سنجهای القایی که بر اساس تفاضل پتانسیلی عمود بر جهت حرکت جریان در سیال و میدان مغناطیسی کار میکنندکاربرد دارند و اثر جریان جابجایی آزاد تحت میدان مغناطیسی در فرمولهای ژیوفیزیکی، اکتشاف و استحصال نفت، مراکز نگهداری زبالههای زیر زمینی و … قابل لمس میباشد. حال اثر میدان مغناطیسی یکنواخت بر روی جریان جابجایی آزاد گذرای سیال هادی جریان در اطراف کرهی همدما مورد مطالعه قرار گرفته است.
۱.۲.۳- مدلسازی ریاضی جریان:
در این بخش به بررسی اثر میدان مغناطیسی یکنواخت بر روی کره پرداختهایم. بنابراین فرضیات زیر را نیز به فرضیات جریان گذرا اضافه میشود:

• سیال هادی جریان الکتریکی در نظر گرفته شده است.

• کره تحت میدان مغناطیسی ثابتی میباشد.

• عدد رینولدز مغناطیسی ناچیز در نظر گرفته شده است.

با این شرایط معادلهی مومنتم (معادله ی شماره ی ۲.۳) در بخش جریان گذرا به فرم زیر در میآید.