-
- I) اول این که حاملها به منطقه rداخل و وارد می‌شوند. حال فرض میکنیم vkسرعت حامل در حالت k است پس حاملها در یک زمان t فاصله‌ای به اندازه tvk جابجا می‌شوند. حال با در نظر گرفتن قضیه لیوویل[۵۴] تعداد حاملها در همسایگی r در زمان t مساوی است با تعداد آن‌ها در همسایگی r=tvk در زمان صفر یعنی fk(r,t)=fk(r-tvk,0) و این یعنی نرخ تغییر توزیع ناشی از انتشار[۵۵] به‌صورت معادله ۳‑۱ است:
۳‑۱
-
- II) دوم این که میدان خارجی تکانه هر ذره را عوض می‌کند ما نرخ تغییر بردار را به‌صورت معادله ۳‑۲ مینویسیم(در دستگاه CGS):
۳‑۲
این رابطه را میتوان به‌عنوان سرعت حامل در فضای k در نظر گرفت. پس میتوان برای تغییر سرعت حاملها در زمان t نسبت به زمان اولیه از طریق میدان خارجی نوشت و نرخ آن به‌صورت معادله ۳‑۳ است:
( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
۳‑۳
III) سومین اثر پراکندگی بارها است که اثری نسبتا پیچیده است. میتوان رابطه ۳‑۴ را برای این اثر نوشت:
۳‑۴
فرایند پراکندگی از k به k’ میزان fk را کاهش می‌دهد و احتمال وقوع این فرایند به دو عامل fk یعنی تعداد حاملها در حالت k و به (۱- fk’) یعنی تعداد جاهای خالی در حالت نهایی k’ بستگی دارد. همچنین یک فرایند معکوس وجود دارد که میزان fk را افزایش دهد که حاملها از محل k’ به k حرکت کنند. حال اگر روی همه حالت‌های ممکن k’ جمع بزنیم و در Q(k,k’) ,که فاکتور احتمال انتقال از نقطه k به نقطه k’ است، ضرب کنیم، نرخ‌گذار را بدست آورده‌ایم. توجه شود که قضیه برگشت‌پذیری میکروسکپی[۵۶] بیان می‌کند که، یک تابع یکسان نرخ‌گذار از k’ به k را بیان می‌کند. حال معادله بولتزمن بیان می‌کند در هر نقطه و برای هر k تغییرات نرخ برای fk® صفر است:
۳‑۵
توجه شود معادله ۳‑۵ در شرایط تعادل پایدار[۵۷] و نه در شرایط تعادل[۵۸] نوشته شده است.
ما برای رسیدن به هدف یعنی محاسبه µe و µh به جای حل کامل معادله انتقال بولتزمن از روش معادله بالانس[۵۹][۳۸] استفاده میکنیم. معادله بالانس بر پایه معادله انتقال بولتزمن است. ما از معادله بالانس به این صورت استفاده میکنیم که، جمله پراکندگی معادله بولتزمن را مینویسیم و با در نظر گرفتن فرآیندهای مختلف پراکندگی معادله را در شرایط تعادل پایدار مینویسیم. معادله دوم هم از طریق نوشتن چگالی الکترونی بر واحد سطح برای کل الکترون‌ها نوشته شده و از حل این دو معادله µe و µh را بدست می‌آوریم. توضیحات بیشتر در مورد معادله بالانس و حل آن را در فصل چهارم خواهیم آورد.
فصل چهارم
فصل چهارم: بررسی جمعیت وارون در گرافن
بررسی جمعیت وارون در گرافن
مقدمه
در این فصل ابتدا رسانندگی گرافن را بدست می‌آوریم. بعد رابطه رسانندگی و تقویت نوری را بیان خواهیم کرد. سپس جمعیت معکوس در گرافن را بررسی میکنیم که این کار از دو روش که یکی بر اساس پدیده شناختی است و دیگری بر اساس معادله انتقال بولتزمن انجام می شود.
محاسبه رسانندگی الکتریکی گرافن
جذب نوری در گرافن به دو صورت انتقال بین نواری و داخل نواری است و این دو انتقال بستگی به طول موج تابیده شده به گرافن است. در مادون قرمز دور پاسخ نوری گرافن غالبا داخل نواری و در ناحیه مادون قرمز میانی و نزدیک پاسخ نوری بین نواری است. در بررسی این رساله طول موجهای استفاده شده در مادون قرمز نزدیک است. بررسی رسانندگی گرافن در مقالات متعددی[۳۹-۴۴] صورت گرفته است. برای محاسبه رسانندگی الکتریکی گرافن از روش کوبو استفاده شده است.
برای محاسبه ابتدا هامیلتونی گرافن را در مدل تنگ بست به‌صورت معادله ۴‑۱ مینویسیم[۴۳]:
۴‑۱
در این جا تقریب نزدیکترین همسایه به کار رفته است و در آن یک الکترون در زیر شبکه A تولید می کند و یک الکترون در زیر شبکه B تولید می کند. t پارامتر جهش[۶۰] میباشد که مقدار آن حدود ۳ ev است. بردار های در شکل۴‑۱ نشان داده شده اند.
شکل۴‑۱ گوشه ای از شبکه کلی گرافن
مقدار پارامترها بصورت و و میباشند. در مدل تنگ بست پارامتر جهش در حضور میدان بصورت تغییر می کند[۴۵]. پارامتر جهش در حضور میدان را به صورت زیر بسط می دهیم:
۴‑۲
حال اگر فرض کنیم جهت قطبش میدان در جهت x است عملگر چگالی جریان بصورت است[۴۵]. با فرض قطبش در جهت x میدان و محاسبه چگالی جریان، جواب به صورت داریم که پارامتر های و به صورت زیر است:
۴‑۳
۴‑۴
در رابطه بالا جمله جریان پارامگنتیک میباشد که ناشی از تغییر شکل تابع موج در اثر میدان خارجی میباشد و جمله جریان دیامگنتیک نام دارد[۴۶]. همان طور که می‌دانیم رابطه چگالی جریان و میدان الکتریکی به صورت است. میتوان E را بر حسب پتانسیل برداری به صورت نوشت. در اینجا فرض می شود که میدان، قطبشی در جهت x دارد. تانسور رسانندگی است. هدف اصلی در این بخش محاسبه تانسور رسانندگی گرافن است که این تانسور شامل مولفه های طولی و عرضی است. در اینجا مولفهی طولی یعنی را با رابطه کوبو محاسبه میکنیم[۴۳]:
۴‑۵
که مساحت کل گرافن با رابطه است به طوری که جمله مساحت یک سلول واحد در گرافن و تعداد این سلول‌های واحد است. علت اضافه کردن این جمله در مخرج این است که افت و خیزهای اتمی را حذف کنیم[۴۷]. معادله بالا رابطه کوبو برای رسانندگی الکتریکی است که برای استفاده از فرمالیسم ماتسوبرا[۶۱] تغییر انجام شده است[۴۷]. از طریق تابع همبستگی جریان-جریان ماتسوبرا به صورت معادله ۴‑۶ محاسبه می‌شود[۶۲][۴۳]:
۴‑۶
در آن عملگر ترتیب زمانی [۶۳]و است. فرمالیسم به کار رفته یکی از روشهای محاسبه تابع کوبو برای رسانندگی الکتریکی است که در کتاب فیزیک بس ذره‌ای توسط ماهان[۶۴]به کار رفته است[۶۵][۴۷]. رسانندگی الکتریکی کلی به دو بخش حقیقی و موهومی تقسیم میکنیم که هر جمله آن به‌صورت ۴‑۷ و ۴‑۸ است[۴۳]:
۴‑۷
۴‑۸
حال برای محاسبه رسانندگی توجه میکنیم که تولید جمعیت وارون در لیزر در ناحیه فرکانسی مادون قرمز نزدیک یک فرایند بین نواری است. D فاکتور درود است که در قسمت حقیقی رسانندگی ذکر شده و مستقیما متناسب با رسانندگی داخل نواری است[۴۸]. در بازه فرکانسی ذکر شده امکان وقوع انتقال مستقیم داخل نواری در گرافن بسیار پایین است. پس برای محاسبه قسمت حقیقی رسانندگی بین نواری ابتدا فاکتور را در معادله ۴‑۹ معرفی میکنیم[۴۳]:
۴‑۹
که تابع توزیع فرمی و پتانسیل شیمیایی است. به‌صورت ۴‑۱۰ معرفی می‌شود[۴۳]:
۴‑۱۰
و به‌صورت ۴‑۱۱ است:
۴‑۱۱
جمله آخر معادله ۴‑۱۰ را اگر در معادله ۴‑۹ قرار دهیم و تقریب محاسبه نزدیک نقطه دیراک را بکار ببریم جمله کوچکی است و از آن صرف نظر میکنیم. تابع چگالی حالات در هر حالت اسپینی و در هر سلول واحد را به‌صورت ۴‑۱۲ مینویسیم[۴۳]:
۴‑۱۲
برای ادامه محاسبات به دو مورد از ویژگی‌های تابع دلتای دیراک در ۴‑۱۳ اشاره میکنیم:
۴‑۱۳
که البته ویژگی دوم از ویژگی اول واضح است یعنی اگر در دومی یک منفی فاکتور بگیریم طبق اولی قدر مطلق آن پشت عبارت ظاهر میشد. برای محاسبه رسانندگی تمام فرضیات بالا را در نظر می‌گیریم بعلاوه این که رابطه پاشندگی در گرافن به‌صورت است که در آن مثبت اشاره به نوار رسانش و منفی اشاره به نوار ظرفیت دارد. رسانندگی به صورت ۴‑۱۴ بدست می‌آید:
