کنشی با شرایط مناسب نوشته می­ شود که آن­را کنش اینشتین- هیلبرت گویند. سپس آن­را نسبت متغیر دینامیکی میدان گرانشی (تانسور متریک فضازمان) وردش داده به کمک اصل وردش، معادله­ میدان بدست می ­آید ]۲۸[.
از گرانش نیوتن استفاده شود. معادله­ گرانش نیوتنی همان معادله­ پواسن برای پتانسیل گرانشی است
( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۳-۳-۲)
که  و  به­ترتیب چگالی ماده و پتانسیل گرانشی است. حال از هموردایی عام انتظار می­رود، معادله­ گرانشی به­ صورت یک رابطه­ تانسوری باشد. از آنجایی که در حد گرانش ضعیف و استاتیک داریم:
(۳-۳-۳)
بایستی در معادله­ میدان مطلوب تنها تا مشتق مرتبه­ی دوم متریک وجود داشته باشد. چون تنها تانسور مستقل ساخته شده از متریک و مشتقات متریک تا مرتبه­ی دوم، تانسور انحنای ریمان است. بنابراین بایستی در یک طرف معادله­، تانسور انحنا و در طرف دیگر تانسور مربوط به انرژی و تکانه­ ماده در فضا قرار بگیرد و نهایتاً از روی آن، معادله­ اینشتین بدست می ­آید ]۲۹[.
خصوصیات طرف چپ معادله­ (۳-۳-۱) طبق فرضیات اینشتین [۳۰ [به این صورت می­باشند:
الف- تانسور اینشتین که در سمت چپ معادله­ ذکر شده به مشتقات مرتبه­ی اول و دوم متریک محدود می­ شود.
ب- تانسور اینشتین باید نسبت به مشتقات مرتبه­ی دوم خطی باشد.
ج- بدلیل صفر شدن مشتق هموردای  (اصل بقای انرژی- تکانه) در طرف راست معادله، همین خاصیت می­بایست در سمت چپ همواره برقرار باشد. یعنی، دیورژانس  همواره باید صفر باشد.
د- همچنین از تأثیرات دیگری که طرف راست معادلات میدان به سمت چپ می­ گذارد این است که  باید تانسور متقارن باشد.
با این مفروضات و مقداری محاسبه، معادله­ (۱-۲) بدست می ­آید.
۳-۴ گرانش مشتقات بالاتر
پس از معرفی نسبیت عام و بدست آوردن معادلات میدان توسط اینشتین، فیزیک­دانان به­دنبال یک نظریه­ واحد جهت توصیف تمام برهم­کنش­های ذرات و میدان­ها بودند. در این زمینه پیشرفت­هایی صورت گرفت و نظریاتی هم ارائه شد. یکی از این نظریه ­ها، نظریه­ ریسمان^[۱۹] بود که با هدف متحدسازی کلیه­ برهم­کنش­های موجود در طبیعت بیان گردید. در این نظریه مدل ذرات (هادرون­ها) را مشابه با یک جسم یک بعدی به­نام ریسمان و نه ذره­ی نقطه­ای در نظر می­گرفت. پس از این­که این نظریه به خاطر وجود تاکیون­ها^[۲۰] (ذرات با جرم موهومی و اسپین ۲) و نیز این­که این نظریه در ۲۶- بعد سازگار است برای مدتی کنار گذاشته شد، عده­ای از فیزیک­دانان با انتخاب گراویتون^[۲۱] این نظریه را به­عنوان کاندیدای مناسبی برای نظریه­ کوانتومی گرانش در نظر گرفتند. امروزه با تلفیق ابرتقارن و نظریه­ ریسمان^[۲۲]، نظریه­ ابرریسمان مورد توجه قرار گرفته است که مستقل از وجود تاکیون­ها بوده و در ۱۰- بعد سازگار است. در حد انرژی­های پایین، این نظریه­ به مدل­های موثر گرانشی در ابعاد بالا (نظریه­ های مشتقات بالاتر انحنا) منجر می­ شود ]۳۰[. جالب توجه است که این عبارات با مشتقات بالاتر انحنا در میدان­های کوانتومی نیز دیده می­ شود ]۳۱[. در این زمینه نکته­ای که از اهمیت زیادی برخوردار است این است که این عبارات، در ابعاد بالاتر از چهار بعد تأثیر خود را نشان می­ دهند.
از این دستاورد نتیجه­ای که می­توان گرفت این است که در این نظریه ­ها در ابعاد بالاتر از چهار بعد، کنش گرانشی فقط شامل عبارت اینشتین- هیلبرت نیست و پیرو آن معادلات میدان نیز معادلات میدان اینشتین نخواهد بود و عباراتی با توان­های بالاتر انحنا نیز در این معادلات ظاهر می­ شود.
یکی از نظریه­ های بسیار مهمی که در زمینه­ توان­های بالاتر انحنا بیان شده است، نظریه­ گرانش لاولاک می­باشد [۳-۵]. خصوصیت ویژه­ی این نظریه این است که در تانسور لاولاک مشتقات بالاتر از مرتبه­ی دوم متریک ظاهر نمی­شوند.
۳-۵ گرانش لاولاک
تانسور گرانشی اینشتین (  ) به همراه ثابت کیهان­شناسی، در ۴- بعد، تنها تانسوری است که می­توان از مشتقات مرتبه­ی اول و دوم متریک تشکیل داد به­ طوری که این تانسور نسبت به مشتق مرتبه­ی دوم خطی باشد ]۳۲[.
می­دانیم اساسی­ترین فرض­های نسبیت عام اینشتین این است که یک تانسور مرتبه­ی دو که به هندسه­ی فضازمان بستگی دارد با تانسور انرژی- تکانه متناسب باشد. بنابراین تانسور مرتبه­ی دومی که به هندسه بستگی دارد بایستی دارای خواص زیر باشد.
۱-این تانسور باید متقارن باشد، یعنی:

۲-این تانسور باید ترکیبی از متریک و مشتقات آن حداقل تا مشتق مرتبه­ی دوم باشد.

مشتق هموردای این تانسور باید صفر باشد، یعنی:

۴-این تانسور نسبت به مشتقات مرتبه­ی دوم متریک تناسب خطی دارد. در این مورد فرض می­ شود که معادلات میدان خلا به شکل زیر است:

با توجه به خواص فوق، در سال ۱۹۷۱ لاولاک یک تانسور عمومی­تر در ابعاد بالاتر که شرایط تانسور اینشتین را برآورده می­کرد ارائه نمود [۳-۵].
خصوصیت مهم لاگرانژی لاولاک این است که این لاگرانژی نسبت به تانسور ریمان غیرخطی است و تفاوت معادلات میدان ناشی از لاگرانژی لاولاک با معادلات میدان اینشتین تنها در فضازمان­های بالاتر از ۴- بعد مشخص می­ شود، یعنی در ۴- بعد جواب­های معادلات میدان لاولاک به جواب­های گرانش اینشتین کاهش می­یابند. به دیگر سخن در ۴- بعد جملات بالاتر لاولاک یک ناوردای توپولوژیک بوده و تاثیری در معادلات میدان و هندسه­ی فضازمان ندارد. که این لاگرانژی به­ صورت زیر معرفی می­ شود:
(۳-۵-۱)
در رابطه­ فوق بیانگر قسمت صحیح  است،  یک ثابت اختیاری است و  به ازای  های مختلف جملات مختلف لاولاک را بوسیله­ی رابطه­ زیر به­دست می­دهد:
(۳-۵-۲)
که در آن  تانسور انحنای ریمان در  بعد و  دلتای کرونکر پادمتقارن تعمیم یافته­ می­باشد. مرتبه­ی اول این لاگرانژی (یعنی اگر در معادله  را قرار دهیم) به لاگرانژی اینشتین- هیلبرت تبدیل می­ شود:
(۳-۵-۳)
اگر در معادله­ (۳-۵-۱) مقدار  قرار دهیم به لاگرانژینی تبدیل می­ شود که شامل اولین مرتبه­ی بالاتر در گرانش لاولاک بوده و معادله­ حرکت ناشی از آن نسبت به مشتق مرتبه­ی دوم تانسور متریک خطی است که آن را لاگرانژی گوس-بونه می­نامند ]۳۳[. در این تحقیق سعی برآن­ است­که تا همین مرتبه از گرانش لاولاک را مورد مطالعه قرار دهیم. لاگرانژی گوس-بونه به شکل زیر معرفی می­گردد:
(۳-۵-۴)
همان‌طور که گفته شد لاگرانژی گوس- بونه در ۴- بعد یک ناوردای توپولوژیک بوده و در ۵- بعد و بالاتر می­توان تأثیرات آن­را مشاهده نمود.
حل سیاه­چاله در گرانش گوس- بونه شامل دو جواب می­باشد، که این جواب­ها به دو شاخه­ مثبت و منفی تقسیم ­بندی شدند. هنگامیکه دیزر برای اولین بار جواب را کشف کرد، ادعا کرد که حالت خلأ در شاخه­ مثبت ناپایدار می­باشد ]۳۴[، پس جواب در شاخه­ منفی مورد بررسی قرار گرفت، و توجه کمتری به شاخه­ مثبت شد، اما اخیراً مشخص شده است که حالت خلأ در هر دو شاخه پایدار می­باشد. جواب­های زیادی در گرانش گوس- بونه مورد بررسی قرار گرفته­اند که به برخی از آن­ها اشاره می­ شود: جواب تاب ناب، در گرانش گوس- بونه در مرجع ] ۳۵[ بررسی شده و تحلیل جواب­های باردار آن در مرجع [۳۶] آمده است.
سیاه­چاله­های کروی ایستا بدون­بار در ]۳۷[ بررسی شده­ است. همچنین جواب­های سیاه­چاله­ای با توپولوژی غیربدیهی در گرانش گوس- بونه در مرجع ]۳۸و۳۹[ آمده است. ترمودینامیک سیاه­چاله­های بدون بار ایستا با تقارن کروی در مرجع ]۴۰[ و سیاه­چاله­های باردار در مراجع ]۴۱و۴۲[ بررسی شده است. تمامی این جواب­های شناخته شده در گرانش گوس- بونه استاتیک می­باشند. جواب­های چرخان در گرانش گوس- بونه نیز در مرجع ]۴۳و۴۴[ آمده است.
در این رساله در سمت چپ معادله­ میدان گرانشی به­جای لاگرانژی اینشتین، از لاگرانژی گوس-بونه به­عنوان تعمیم لاگرانژی اینشتین استفاده می­کنیم. به دیگر سخن کنش گرانشی مورد استفاده در این رساله به­ صورت زیر معرفی می­ شود:
(۳-۵-۵)
که در آن  ضریب گوس- بونه است. مسلماً در حد  های کوچک (  )، معادلات و نیز جواب­های به­دست آمده باید به معادلات و جواب­های گرانش اینشتین تبدیل شوند.
۳-۶ کنش مرزی
از وردش دادن کنش گرانشی اینشتین نسبت به متریک فضازمان، می­توان به معادلات حرکت دست پیدا کرد. اما پس از وردش کنش اینشتین- هیلبرت نسبت به  ، همه عبارات خوش­تعریف نیستند. مشکل از اینجا ناشی می­ شود که در راه رسیدن به معادلات میدان، عباراتی دارای انتگرال سطحی که در برگیرنده­ی مشتق نرمال بر سطح  هستند، ظاهر می­شوند. در این حالت برای خوش­تعریف کردن این کنش، گیبونز و هاوکینگ یک انتگرال مرزی به کنش حجمی اضافه کردند، که به این دلیل که تابعی از هندسه­ی مرز بود تأثیری در معادلات حرکت ایجاد نمی­کرد و فقط مشتق نرمال کنش مرزی را از بین می­برد [۴۵]. جمله­ اضافه شده توسط گیبونز و هاوکینگ به صورت زیر تعریف می­ شود:
(۳-۶-۱)
که  متریک القایی بر روی مرز  و  رد^[۲۳] انحنای خارجی^[۲۴] مرز  می­باشد.
در معادله­ (۳-۶-۱)،  به­عنوان تغییرات بردار عمود بر مرز به صورت زیر تعریف می­ شود [۲۵]:
(۳-۶-۲)
که  بردار یکه­ی عمود بر سطح است.
در مورد گرانش مراتب بالاتر انحنا (مشتقات بالاتر) کنش مرزی پیچیده­تر می­ شود. به­عنوان مثال در مورد کنش گوس- بونه برای این­که معادلات وردش داده شده خوش تعریف باشند، علاوه بر کنش گیبونز- هاوکینگ، کنش زیر نیز باید به معادلات افزوده شود [۴۶و۴۷]: