برای سیستم دو فازی آب- نفت معادله پایستگی جرم به صورت معادله (۳٫۱) بیان می شود:
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(۳٫۱)
که در آن  چگالی سیال،  سرعت سطحی سیال،  تخلخل، S اشباع سیال در فضای متخلخل، t زمان،  نرخ سیال به واحد حجم و زیر نویس  نشانگر فاز نفت و چاه می باشند.
مساله فرموله نمودن حرکت سیال در محیط متخلخل با حرکت سیال در یک محیط پیوسته (غیر متخلخل) از همین جا، جدا میشود. آنها فقط در قانون عامِ بقای جرم(معادله پیوستگی) با هم مشترک هستند و در قوانین خاص با هم اختلاف جدی دارند. در حالت مکانیک سیالات محیط پیوسته، بعد از نوشتن معادله پیوستگی (قانون بقای جرم، قانون عام) معادله بقای مومنتوم (قانون عام) همراه با قانون خاص گرانروی نوشته میشود تا تشکیل معادلات حاکم ناویه-استوک را بدهند. در طرف مقابل، مکانیک سیالات محیط متخلخل با نوشتن معادله دارسی یک معادله نیمه تجربی (نیمه عام-نیمه خاص) بدست می آید. با ترکیب معادلات پیوستگی و دارسی و همچنین سایر معادلات و قوانین خاص مقتضی (مثلاً در حالت چند فازی و یا چند جزئی از روابط اشباع شدگی فازها و تعادل ترمودینامیکی استفاده میشود) معادلات حاکم به دست آمده و آماده حل می شوند. معادله پایستگی مومنتوم برای هر سیستم از معادلات ناویر-استوکس استخراج میشود. اما این معادلات برای جریانهای با سرعت کم در درون محیط متخلخل توسط معادله نیمه تجربی دارسی بیان می شوند:
(۳٫۲)
گرانروی سیال،  نفوذپذیری نسبی، p فشار، g شتاب جاذبه، dعمق می باشد. K ماتریس نفوذپذیری است که به طور معمول در مختصات مستطیلی تعریف می شود و یک ماتریس قطری است:
(۳٫۳)
که سه جزء موجود در (۳٫۳) نفوذپذیری در سه جهت x,y,z می باشند. چون نفوذپذیری نسبی تابعی از اشباع است معادله (۳٫۲) به یک معادله غیر خطی تبدیل می شود. با ترکیب معادلات (۳٫۱) و (۳٫۲) به معادله (۳٫۴) می رسیم:
(۳٫۴)
معادله (۳٫۴) شامل ۴ مجهول  می باشد. دو تا از این مجهولات می تواند به کمک دو معادله (۳٫۵) و (۳٫۶) حذف شوند:
(۳٫۵)
(۳٫۶)
که  منبع دیگر غیر خطی شدن معادلات جریان است. با در نظر گرفتن تعاریف (۳٫۷) ، (۳٫۸) و (۳٫۹) به دو معادله (۳٫۱۰) و (۳٫۱۱) می رسیم:
(۳٫۷)
(۳٫۸)
(۳٫۹)
(۳٫۱۰)
(۳٫۱۱)
معادلات جریان دو فازی که در (۳٫۱۰) و (۳٫۱۱) فرموله شد شامل دو متغیر حالت فشار فاز نفت و اشباع فاز آب می باشد. بنابراین معادلات دارای ۲N_c متغیر حالت است که N_c تعداد گریدهای مخزن است که معمولاً این تعداد برای مخازن واقعی از مرتبه هزار یا میلیون می باشد. معادلات به دلیل وابستگی فشار موئینگی و نفوذپذیری نسبی به اشباع، غیر خطی می باشند.
در حالت کلی در مخزن با یک دستگاه معادلات جبری دیفرانسیل جزیی^[۷۴] روبرو هستیم. اگر از بسته های نرم افزاری تجاری مثل Diff Pack یا PDE Toolbox در Matlab بخواهیم استفاده کنیم، آنها فقط PDE حل می کنند نه PDAE، لذا باید به نحوی معادلات جبری را حذف کنیم. این کار یا در حالت اصلی یعنی پیوسته انجام می شود و یا حالت گسسته. از اینرو انواع و اقسام فرمولاسیون مکانیک سیالات در محیط متخلخل از همین جا بروز پیدا می کند. مضافاً اینکه واژگان و اصطلاحات جدیدی هم خلق می شوند مانند تقریب جبری مشتقات پاره ای دارای جمله غیر خطی، IMPES^[75] و … . لذا بررسی گسسته سازی معادلات مخزن ضروری به نظر می رسد [۳۶].
۳-۳- گسسته سازی معادلات مخزن
حل تحلیلی برای حرکت سیالات در محیط متخلخل بسیار محدود است. به دست آوردن حل تحلیلی فقط با فرضیات ساده شونده در هندسه مخزن، خواص سنگ و سیال و شرایط مرزی ممکن است [۳۶]. برای اخذ نتایج دقیق تر با بار اطلاعاتی کمتر، نیازمند روش های عددی هستیم روش های عددی دستگاه PDE از نظر ریاضی به سه دسته کلی تقسیم می شوند:
روش های مبتنی بر تقریب جبری مشتق (معروف به ^[۷۶]FDM مثل FDM Explicit)
روش های مبتنی بر تقریب تابع جواب یا روش های مانده وزنی مثل FEM^[77]
روش های مبتنی بر حل انتگرال مثل BEM^[78]
در ادامه بر روی نوع اول تمرکز می کنیم. دو روش برای گسسته سازی مکان متداول است: روش Block-Centered و روش Mesh-Centered . این دو روش گسسته سازی اشاره شده، هر کدام معایب و مزایای خود را دارند که بیشتر در زمینه پیاده سازی کامپیوتر(از نظر اجرایی) و برخورد با شرایط مرزی (از نظر فرمولاسیون) با هم تفاوت دارند. در ادامه از روش Block-Centered استفاده خواهد شد.
گسسته سازی معادلات مخزن در بسیاری از کتابها و مقالات به شیوه مشابه ذکر شده است. مطالب این بخش از مرجع [۳۷] آمده است.
در معادله (۳٫۴) دو متغیر  را به عنوان متغیرهای حالت معادلات در نظر می گیریم و از این به بعد آنها را به ترتیب با S و P نشان می دهیم. از این به بعد از سه جهت  را به جای سه جهت (x,y,z) استفاده می کنیم. چون بعداً از x به عنوان بردار حالات استفاده می کنیم. فرض می کنیم  یعنی جریان افقی نداریم. ابعاد گریدها  ثابت هستند. حال به گسسته کردن طرف چپ معادله (۳٫۴) می پردازیم:
(۳٫۱۲)
در معادله (۳٫۱۲) j اندیس فاز، i اندیس شماره گرید، n+1 اندیس مرحله بعدی زمانی می باشد.  حجم یک بلوک است.  بازگو کننده جریان ناشی از اختلاف فشار بین دو گرید همسایه i و i-1 در فاز j است و به صورت (۳٫۱۳) تعریف می شود:
(۳٫۱۳)
در معادله بالا  سطح مشترک دو بلوک i و i-1 است (شکل ۳-۱).  به صورت مشابه تعریف می شود.
شکل ۳-۱: گسسته سازی گریدها در راستای محور افقی [۶]
ترمهای  به فشار و اشباع وابسته بوده، پس در معادله (۳٫۱۲) ترم های فشار در یکدیگر ضرب می شوند که باعث غیر خطی شدن معادلات می شود.
ترم اول سمت راست معادله (۳٫۴) به صورت زیر گسسته می شود:
(۳٫۱۴)
که  فاصله زمانی است. برای سیستم های غیر قابل تراکم φ ثابت است و  خواهد بود. در این حالت معادله (۳٫۱۴) می تواند به صورت زیر نوشته شود:
(۳٫۱۵)
دومین ترم سمت راست معادله (۳٫۴) در شبیه سازی مخازن به صورت زیر مدل می شود:
(۳٫۱۶)
نرخ جریان سیال فاز j در بلوک i به داخل چاه ( و یا بالعکس) در زمان n+1 است.  فشار بلوک i در زمان n+1 می باشد.  فشار wellbore در چاه w در گرید i است.  اندیس چاه است. برای چاه های عمودی که به طور کامل در بلوک i نفوذپذیر است، به صورت زیر تعریف می شود:

(۳٫۱۷)
گسسته سازی در سه بعد مشابه یک بعد که در بالا گفته شد، می باشد. نتیجه غیر خطی سیستم به صورت زیر نمایش داده می شود:
(۳٫۱۸)
در معادله (۳٫۱۸) ، g بردار باقی مانده است که ما به دنبال صفر کردن آن هستیم. X متغیرهای حالت سیستم یعنی فشار و اشباع است. U نشانگر متغیرهای کنترلی سیستم برای مثال فشار ته چاهی می باشد. معادله بالا غیر خطی است و می تواند به کمک روشهایی از جمله نیوتن و با کمک ماتریس جاکوبین  حل شود. اگر معادلات گسسته سازی شده (۳٫۱۸) به صورت عددی حل شوند و متغیرهای حالت اشباع آب و فشار نفت همزمان بدست آورده شود، به این نوع روش حل، روش سنتی Finite Difference بر پایه فرمولاسیون Fully Implicit گفته می شود.
۳-۴- معادلات مخزن بر پایه ^[۷۹]Streamline
در این بخش ابتدا مفاهیم و تعاریف اولیه Streamline ها بیان خواهد شد. سپس مقدمه ای بر کاربرد آن در شبیه سازی مخزن بیان خواهد شد. پس از مروری کوتاه بر تاریخچه Streamline ها در مدلسازی مخازن، نحوه فرمولاسیون معادلات مخزن بر پایه Streamline بررسی خواهد شد. در مکانیک سیالات نمایش حرکت سیال موضوع پر اهمیتی می باشد. الگوی حرکت سیال با روش های متفاوتی نمایش داده می شود که این تصاویر می توانند اطلاعات کیفی و اغلب کمی مناسبی درباره سیال در اختیار قرار دهند. چهار الگوی اصلی جهت نمایش حرکت سیال، Streamline، Pathline، Streakline و Timeline می باشد. محاسبه Streamline (یا خطوط جریان) از نظر ریاضی ساده می باشد و همچنین در مکانیک سیالات در اکثر موارد به منظور مشاهده حرکت سیال از این روش استفاده می شود. در شکل ۳-۲ مجموعه ای از Streamline ها را مشاهده می کنید[۳۸]. در این بخش ریاضیات خطوط جریان در حالت کلی معرفی می شود. در ادامه جهت سادگی نوشتار، خطوط جریان به صورت SL ذکر می شود.
شکل ۳-۲ مجموعه ای از Streamline ها [۳۸]