نرم فروبنیوس ماتریس را با نمایش داده و بصورت زیر تعریف می­ شود:
در ادامه به تعریف دو نوع تجزیه یک ماتریس می­پردازیم.
۱-۵ تجزیه و
الف- فرض کنید یک ماتریس باشد، آن­گاه یک ماتریس متعامد و یک ماتریس بالا مثلثی وجود دارد به طوری که ، که در آن ماتریس به فرم می­باشد و ها هریک ماتریس هاوس­هولدر می­باشند.
ب- فرض کنید یک ماتریس باشد، تجزیه ماتریس عبارت است از تبدیل ماتریس ضرایب به حاصل ضرب دو ماتریس و ، که در آن یک ماتریس پایین مثلثی و یک ماتریس بالامثلثی واحد است (یک ماتریس بالامثلثی که همه عناصر روی قطر اصلی آن یک هستند).
۱-۶ فضا­های ضرب داخلی
الف: یک ضرب داخلی روی زیر فضای برداری عبارت است از یک تابع حقیقی که به هر زوج از بردار­های و عدد حقیقی را اختصاص می­دهد بطوریکه برای بردار­های و اسکالر چهار اصل زیر برقرار باشد:
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

به ازای هر ؛
اگر و فقط اگر
به ازای هر داشته باشیم:
به ازای هر و داشته باشیم: .
یک فضای برداری همراه با یک ضرب داخلی را یک فضای ضرب داخلی می­نامند.
ب: دو بردار از یک فضای ضرب داخلی متعامد نامیده می­ شود، هرگاه
ج: یک مجموعه از بردار­ها مانند را متعامد گویند، هرگاه
د: مجموعه U را متعامد یکه گویند، هرگاه متعامد باشد و نرم هر بردار متعلق به برابر یک باشد، یعنی
و: مجموعه همه ترکیبات خطی یک مجموعه از بردارهای یک زیر فضای برداری است که مجموعه­ همه ترکیبات خطی متناهی نامیده می­ شود و به صورت زیر نمایش داده می­ شود:
ه: فرض کنید ، در این­صورت فضای برد و پوچ ماتریس به ترتیب به صورت زیر تعریف می­ شود:
بنا به تعریف هرگاه ماتریس نامنفرد باشد، آن­گاه . اما اگر منفرد باشد، در این­صورت، لذا صفر یک مقدار ویژه ماتریس می­باشد، حال اگر بردار­های ویژه نظیر صفر را به دست آوریم اعضای خواهند بود.
۱-۶-۱ زیر فضای کرایلف
یک زیرفضای کرایلف از بعد کمتر یا مساوی متناظر با ماتریس و بردار بصورت زیر تعریف می شود:
هر بردار بصورت نوشته می شود، که در آن یک چندجمله ای از درجه کمتر یا مساوی است.
در ادامه الگوریتم متعامدسازی گرام­اشمیت را بطور مختصر شرح می­دهیم.
۷-۱ الگوریتم متعامدسازی گرام اشمیت
مجموعه از بردارهای مستقل خطی را در نظر بگیرید. با بهره گرفتن از الگوریتم متعامدسازی گرام اشمیت می­توان این مجموعه را به مجموعه ­ای متعامد یکه تبدیل کرد.
۱-۷-۱ الگوریتم گرام اشمیت
ورودی الگوریتم: مجموعه­­ای از بردارهای مستقل
خروجی الگوریتم: مجموعه ­ای بردارهای متعامد یکه
قرار دهید: ؛ اگر پایان روند، در غیر این­صورت .
به ازاء و مقادیر زیر را بدست آورید.
هرگاه ، پایان روند، در غیر این صورت .
الگوریتم فوق روند گرام اشمیت استاندارد نامیده می­ شود. الگوریتم مشابهی وجود دارد که از لحاظ ریاضی معادل با روند گرام اشمیت استاندارد است، ولی خصوصیات عددی بهتری دارد که آن را روند گرام اشمیت اصلاح شده می­نامندکه در ادامه بطور مختصر توضیح داده می شود.
۱-۷-۲ الگوریتم گرام اشمیت اصلاح شده
قرار دهید: ؛ اگر پایان روند، در غیر این­صورت .
به ازاء مقادیر زیر را بدست آورید.
به ازای مقادیر زیر را بدست آورید:
,
هرگاه ؛ پایان روند، در غیر اینصورت .
در این فصل تعاریف لازم که در پایان نامه استفاده می­ شود بیان شد. در مورد تجزیه­ی و توضیح مختصری داده شد، هم چنین فضاهای ضرب داخلی به ویژه زیرفضای کرایلف معرفی شد و در آخر فصل الگوریتم متعامدسازی گرام اشمیت که برای تبدیل مجموعه­های بردارهای مستقل به مجموعه­ بردارهای یکه استفاده می­ شود بیان شد. درادامه به معرفی روش­های زیرفضای کرایلف برای حل مسائل مقدارویژه می­پردازیم.
فصل ۲
روش­های زیر فضای کرایلف
برای حل
مسائل مقدار ویژه
فصل ۲ روش­های زیر فضای کرایلف برای حل مسائل مقدار ویژه
۲-۱ مقدمه
از جمله روش­های مهم برای محاسبه مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس­های بزرگ، روش­های تصویری متعامد و متمایل است. در این فصل دسته­ای از مهم­ترین روش­های تعیین مقادیر ویژه ماتریس­های بزرگ بر اساس این روش­ها بررسی می­ شود.
۲ـ۲ زیرفضای کرایلف
قضیه ۲ـ۱: زیرفضای کرایلف از بعد است اگر و فقط اگر درجه چندجمله­ای مینیمال در رابطه با ماتریس بزرگ­تر از باشد .
اثبات: بردارهای تشکیل یک پایه برای زیرفضای کرایلف می­ دهند اگر و فقط اگر برای هر سطر , ترکیب خطی ناصفر باشد و این شرط معادل با این است که چندجمله­ای از درجه کمتر یا مساوی ، برای وجود ندارد، و این اثبات را کامل می­ کند.
تعدادی از روش­های زیرفضای کرایلف عبارتند از:
۱ـ روش­ آرنولدی