که در آن و که عددی دلخواه می باشد. اگر باشد آنگاه آماره آزمون علامت فضا و اگر باشد آماره آزمون رتبه علامت دار فضا بدست می آید.
۴-۳-۲-۱- آماره آزمون علامت فضا در حالت یک متغیره
که چون ها حول متقارن هستند بنابراین تابع زیر را تعریف می کنیم:
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

از برابر صفر قرار دادن ، برآورد حاصل می شود و با توجه به اینکه در اینجا معادل با ای هست که در ابتدای این فصل با مشتق گیری از حاصل شد بنابراین در اینجا برآورد همان میانه خواهد بود.
۴-۴- تابع چندکی بر اساس روش مشتق گیری
از برابر صفر قرار دادن ها، میانه حاصل می شود و همچنین و به ترتیب آماره آزمون علامت فضا و اوجا را ارائه می کنند.
در این فصل ذکر شد که در بدست آوردن چندک های چند متغیره بر اساس مشتق گیری، تنها میانه حاصل می شود که متاسفانه این روش چندک های دیگر را به ما نمی دهد. بنابراین این روش و چنین آماره های حاصل (آماره آزمون علامت فضا و آماره آزمون علامت اوجا)، با تابع چندکی مطابقت ندارند و شرایط ۱تا ۳ تابع چندکی،گفته شده در بخش ۱-۲-۲، برقرار نیست و همچنین تفسیر خوبی بعنوان چندکهای چند متغیره ندارند.
۴-۵- نتیجه گیری
بر اساس روش مشتق گیری تنها میانه حاصل می شود و به دلیل اینکه این روش، چندک های دیگر را در بر ندارد، روش مناسبی برای ساختن تابع چندکی نمی باشد.
فصل پنجم
تابع چندکی تعمیم یافته
۵-۱- معرفی به عنوان تابع چندکی تعمیم یافته
برای یک تابع احتمال روی ، زیر کلاس از مجموعه های برل و تابع مجموعه ای حقیقی مقدار را در نظر بگیرید. تابع چندکی حقیقی مقدار را به صورت
(۵-۱)
تعریف می کنیم. از تابع به عنوان تابع چندکی تعمیم یافته یاد می­ شود. به طور خاص رفتار مجانبی ، که بر اساس (تابع احتمال تجربی)، و تعریف می شود، با توجه به توزیع مجانبی فرایند چندکی تعمیم یافته ، ، مشخص می شود.
فرایند های چندکی تعمیم یافته، ضمایم مفید و درک بهتری را در ارتباط با بعضی از روش های مبتنی بر عمق در آنالیز ناپارامتری چند متغیره فراهم می کنند که در زیر چند مثال از کاربرد این روش را مورد بررسی قرار می دهیم.
۵-۱-۱- حجم ناحیه های مرکزی به عنوان یک تابع چندکی
برای یک تابع عمق داده شده مجموعه های وقتیکه مقدار کاهش می یابد به شکل کانتورهای تو در تو دیده می شوند. بنابراین می توانیم یک منحنی مقیاس را با بهره گرفتن از رسم در مقابل بدست آوریم زمانیکه:
در اینجا ناحیه ی مرکزی ام است. منحنی های مقیاس شاخصی برای تشخیص توزیع های چند متغیره می باشند. به عبارت دیگر، در مقایسه دو مجموعه از داده ها که یکی چگال تر از دیگری است منحنی مقیاس دسته چگال تر پایین تر از منحنی مقیاس دسته دیگر قرار می گیرد (به شکل ۵-۱ مراجعه کنید).
شکل ۵-۱ منحنی مقیاس در دو توزیع نرمال دو متغیره با پراکندگی های متفاوت را نشان می دهد.
شکل (۵-۱): منحنی مقیاس
نکته : هرچقدر پراکندگی توزیع بیشتر باشد حجم ناحیه مرکزی هم بیشتر می شود.
فرض کنید تابع عمق داده شده است که ترتیب نقاط در را بر اساس نقطه مرکزی توزیع در نظر می گیرد. ناحیه های درونی مجموعه های ،
را در نظر بگیرید. یاد آور می شویم که ناحیه مرکزی که احتمال بیش از را دارد توسط نشان داده می شود (برای توضیحات بیشتر به بخش ۲-۲-۱-۲ مراجعه کنید). فرض کنید:

1. 1. و توابعی پیوسته هستند.

1. 1. تابعی کاهشی نسبت به است.

آنگاه
و از نتیجه می شود:
چندک تعمیم یافته
تذکر: برای و کلاس از نیم خط ها یعنی = آنگاه تابع چندکی یک متغیرمعمولی می باشد.
همگرایی فرایند چندکی تعمیم یافته توسط سرفلینگ^[۵] در سال ۲۰۰۱ مورد بررسی قرار گرفته است که اثبات آن از حوصله این پایان نامه خارج است. وی نشان داده است حجم نمونه ای ناحیه مرکزی ام بطور مجانبی نرمال با میانگین و واریانس است، وقتیکه مشتق نسبت به می باشد.
۵-۱-۲- منحنی های لورنز^[۶] بعنوان توابع چندکی تعمیم یافته
به طور کلی منحنی لورنز توسط رسم وقتی تابع توزیع تجمعی باشد تعریف شده است که = می باشد. منحنی لورنز را بصورت عکس تابع توزیع احتمال نیز می توان تعریف کرد:
,
بطوریکه . ناحیه بین منحنی لورنز و خط را ناحیه ی تمرکز گویند.
در سال۱۹۹۹، لیو، پارلیوس و سینگ^[۷] با تفسیر عمق به عنوان ارزش توانستند چولگی را در منحنی لورنز، که با تابع توزیع عمق درارتباط است، اندازه بگیرند.
هرچقدر دمهای چند متغیره سنگین تر شود ناحیه ی بیرونی برای ثابت، احتمال بالاتری می گیرد. از طرف دیگر . برای ثابت هر چقدر کم شود، سنگینی دم و کاهش می یابند و از اینرو مقدار برای ثابت کم می شود. بنابراین هر چقدر دم توزیع های چند متغیره سنگین تر باشد ناحیه ی تمرکز بیشتری داریم.
نکته: توزیع های چند متغیره نسبت به سنگینی دمهایشان توسط منحنی لورنز در یک منحنی دوبعدی مقایسه می شوند.
برای تابع عمق دلخواه یک تابع چندکی به فرم (۵-۱) با کلاس که توسط ناحیه های بیرونی ساخته می شود و روی است بصورت زیر تعریف می کنیم:
,
به طور دقیق تر، منحنی لورنز توزیع عمق است.
کاربرد منحنی لورنز در اقتصاد:
وقتی در منحنی لورنز از توزیع های درآمدی، ، استفاده شود نسبت کلی درآمد متعلق به نسبت اشخاصی که درآمد پایینی دارند را ارائه می کند. این منحنی یک ابزار گرافیکی برای اندازه و نمایش درجه نابرابری در توزیع درآمد را فراهم می کند.
۵-۱-۳- چندک های سطوح تابع عمق