(۲-۱۴)
که با تغییر متغیر و u=  و استفاده از روش جزء به جزء داریم:
(۲-۱۵)
جریان الکتریکی با این احتمال متناسب است و در αهای بزرگ یعنی میدان­های قوی داریم
[۴۱و۴۶]:
(۲-۱۶)
اگر مراکز کولمبی بقدری بهم نزدیک باشند که میدان­های آنها با هم همپوشانی کند وضعیتی مختلف با حالات قبل اتفاق می­افتد. در این حالت کاهش پتانسیل به اندازه ، می­باشد، که ، فاصله‏­ی بین مراکز است. بنابراین در این مدل انتظار می‏رود که وابستگی جریان به میدان الکتریکی به‏صورت:
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(۲-۱۷)
باشد که این رفتار در برخی مواد دیده شده و تحت عنوان اثر پول معروف است [۴۱].
همچنانکه در ابتدای بحث گفته شد، اثر پول- فرنکل در حالتی که جریان به حجم نمونه محدود شود در نظر گرفته می­ شود. این وضعیت وقتی رخ می­دهد که توده­ی عایق مقاومتی به مراتب بیشتر از مقاومت در اتصالات با الکترودها داشته است. یعنی اگر نرخ انتقال حامل در نقطه­ی اتصال بیشتر از نرخ انتقال حامل به ناحیه دورتر از ناحیه اتصال باشد وضعیت محدود به حجم^[۸۱] را داریم که توسط فلوی جریان محدود شده با بار فضایی توصیف می­ شود.
جریان در توده نیمرسانا توسط رابطه­یI=qnEμ، داده می­ شود که μ، تحرک رانشی الکترون­ها در نوار رسانش ،n، چگالی حامل­های متحرک و E، میدان الکتریکی خارجی است. اگر n_o، چگالی حامل­ها در نواررسانش در غیاب میدان باشد [۴۸] سپس:
(۲-۱۸)
یعنی کاهش ارتفاع سد پتانسیل و کاهش انرژی­های یونیزاسیون مراکز بار، تعداد حاملهای آزاد را در نوار رسانش زیاد می­ کند. سپس:
(۲-۱۹)
I_o=qμn_oE که چگالی جریان در میدان پایین است.
در اثر پول- فرنکل می­توان با داشتن β، ثابت دی الکتریک را یافت. برخی مقادیری از ثابت دی الکتریک را یافته‏اند که حدود چهار برابر مقادیر به دست آمده توسط اندازه ­گیری­های ظرفیت است. این بی­قاعدگی به اثر بی­قاعده پول- فرنکل معروف است.
سیمونز^[۸۲] در سال ۱۹۶۷ مدل نواری به شکل (۲-۴) را پیشنهاد کرد که این بی­قاعدگی را حل می­ کند. دراین مدل، عایق یک چگالی N_t، از تله‏های خالی سطحی را دربردارد، که این مراکز دریک انرژی E_t، زیر نوار رسانش قرار دارند. فرض می­کنیم انرژی یونیزاسیون این تله­ها مستقل از میدان باشد وتراز انرژی فرمی را نیز بین دو تراز ناخالصی فرض می­کنیم [۴۵و۴۸].
شکل ۲-۴) نمودار انرژی سطوح کم عمق تله­های خنثی و سطوح عمیق دهنده­ها]۴۸[.
موقعیت تراز فرمی را با معادل کردن تعداد الکترون­های از دست رفته (مراکز یونیزه شده) از مراکز دهنده با تله­های اشغال شده به دست می­آوریم. تعداد الکترون­ها در نواررسانش را قابل اغماض فرض می­کنیم، بنابراین
(۲-۲۰)
(۲-۲۱)
در میدان صفر، تعداد الکترونهای آزاد، n، توسط رابطه زیر داده می­ شود [۴۷]:
(۲-۲۲ )
(۲-۲۳)
(۲-۲۴)
در حضور یک میدان الکتریکی، سد پتانسیل مرکز دهنده­ توسط اثر P.F کاهش یافته به طوریکه تعداد الکترون­ها در نوار رسانش بصورت زیر خواهد شد:
(۲-۲۵) (۲-۲۶ )
که در آن  ، ضریب کاهنده سد شاتکی است.
بنابراین ساختار الکترونیک نشان داده شده در شکل (۲-۴)، رسانش حجمی وابسته به میدان است[۴۸]. در این مدل حتی اگر تله­ها وجود نداشته باشند باز هم اثر پول-فرنکل برقرار است یعنی تله­ها ضروری نیستند اما لازمه­ی عملی هستند]۴۱و۴۲و۴۴و۴۶و۴۸-۵۰[.
همچنین می توان گفت در فیزیک حالت جامد ، اثر پول - فرنکل پاسخ نمونه به میدان الکتریکی قوی است که در چنین میدانی، نمونه می تواند رسانش الکتریکی قابل توجهی از خود نشان دهد. این اثر که قبلا به نام Yakov Frenkel شناخته می شد ، در سال ۱۹۳۸ به چاپ رسید [۵۱]. بصورت تجربی می توان رسانش غیر اهمی و سیر رفتاری نمونه به سمت پدیده مقاومت دیفرانسیلی منفی و پدیده کلیدزنی را از شیب منحنی مشخصه ی جریان- ولتاژ نمونه [۱۳-۱۶] که به صورت نوعی در شکل (۲-۵) آمده است، ملاحظه و بررسی نمود.
d ضخامت عایق، k ثابت بولتزمن و T درجه حرارت است.
شکل (۲-۵): منحنی مشخصه جریان - ولتاژ برای a) - -

1. 1. b) - - در دماهای مختلف [۳۲].

با مقایسه منحنی I-V هر نمونه در دماهای مختلف می توانیم ماهیت نیمرسانای نمونه های حاضر را نتیجه گیری کنیم [۱۷]. که وقتی میدان در محدوده میدان های V/cm (10⁴-10³) و یا بالاتر باشد رابطه TlnI بر حسب E^1/2 خطی است.
اغلب وقتی دمای نمونه افزایش می یابد رفتار غیراهمی سریعتر نمایان می شود، بنابراین می­توان گفت اثر پول- فرنکل، پدیده ای الکتریکی توام با اثرات گرمایی است.
۲-۷-۱) تزریق بار در اتصالات
در چنین بحثی می­توان اتصالات فلز-نیمرسانا یا فلز- عایق-فلز یا دیگر اتصالات را در نظر گرفت.
بار در پیوندگاه را می توان به عایق یا نیمرسانا وارد کرد که این عمل می ­تواند توسط گسیل گرمایی یا اعمال میدان به پیوندگاه انجام شود. برای اتصال فلز- عایق سه حالت امکان پذیر است: خنثی، اهمی، غیر اهمی. نوع اتصال به دست آمده توسط توابع کار فلز و عایق، چگالی حالات در عایق و میدان الکتریکی معلوم می­ شود. در این زیر بخش اتصالات مذکور را بررسی می­کنیم.
۲-۷-۱-۱) اتصال خنثی^[۸۳]
وقتی توابع کار فلز و عایق یکسان باشد، اتصال خنثی به دست می آید که در این اتصال نوار رسانش وسیع بوده و اتصالی اهمی است (شکلa (2-6) را ببینید).
۲-۷-۱-۲) اتصال اهمی^[۸۴]
اگر یک فلز با عایقی که دارای تابع کار بزرگتری نسبت به فلز است، اتصال داده شود، الکترونها به سمت عایق حرکت می کنند تا زمانیکه تعادل گرمایی برقرار شود. این عمل، منجر به ایجاد یک ناحیه بار فضایی در عایق در نزدیکی فلز می­ شود و مقداری معادل از بارهای مثبت روی فلز القا می­ شود. این بارها میدان الکتریکی تولید می­ کنند که سبب پیچش نوارها به سمت بالا می­ شود. در این حالت سد پتانسیلی وجود ندارد. و اتصال اهمی است.(شکل b (2-6) را ببینید).
۲-۷-۱-۳) اتصال غیر اهمی
اگر تابع کار فلز ф_m، بزرگتر از تابع کار عایق ф_i، باشد و اگر یک چگالی کافی از مراکز دهنده در عایق وجود داشته باشد، الکترون­ها می­توانند از این حالات به فلز گسیل شوند تا اینکه تعادل برقرار شود. سپس لایه‏های بارفضایی ایجاد شده منجر به ایجاد میدان‏الکتریکی می­شوند که عامل پیچش نوارها به سمت پایین است. (شکل c (2-6) را ببینید).
بار فضایی مثبت به مسافت  ، در ناحیه تهی از حامل­های آزاد^[۸۵] گسترش می­یابد که معادل بار منفی روی الکترود است. به خاطر غیاب حامل­های متحرک، ناحیه­ی تهی بسیار مقاوم می­ شود و این اثر در حضور میدان الکتریکی منجر به اثر شاتکی می­ شود.
شکل۲-۶) نمودارهای پتانسیلی اتصالات فلز- عایق برای الکترون­های تعادلی
a). اهمی b). تزریقی c). اتصال غیر اهمی ]۴۲[.
۲-۷-۲ ) اثر شاتکی